Знакомство с принципом дирихле

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

знакомство с принципом дирихле

Логический прием, который был использован прирешении этой задачи, называется принципом Дирихле. Дирихле Петер Август Лежен. Научно-исследовательская работа ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ Выполнил: Принцип Дирихле и комбинаторные задачи 8 Заключение 9 Литература 10 .. Цель: Знакомство с методами рассуждения и доказательства; развитие. Познакомить учащихся с принципом Дирихле; сформулировать принцип Дирихле; Знакомство с формулировками принципа Дирихле.

знакомство с принципом дирихле

Однако кролика нельзя разделить на части, следовательно, хотя бы одна клетка будет пустовать Приложение, рисунок 1. Точно так же и в обратную сторону, если кроликов 7, а ящиков 5, то хотя бы в одном из них — 2 кролика Приложение, рисунок 2. Отталкиваясь от этого утверждения, математику удалось сформулировать принцип, который обеспечивает успешное решение задач по математике уже многие год. Современная формулировка принципа Дирихле На сегодняшний день существует несколько разных формулировок данного принципа.

Научная формулировка, объясняющая принцип Дирихле, гласит: Это простое утверждение можно обобщить: Более общая форма принципа Дирихле, включающая все предыдущие, такова: В действительности такой простой и понятный принцип значительно облегчает решение задач по математике и доказательства многих трудоемких теорем.

Просто необходимо учитывать, что зайцев и ячейки можно легко заменить на математические предметы и объекты цифры, точки, отрезки, фигуры и. Применение принципа Дирихле для решения различных задач 1. Классификация задач, решаемых с помощью принципа Дирихле Прежде чем применять принцип Дирихле в решении логических задач, необходимо понять, какие задачи к ним относятся. К логическим задачам относят такие, при решении которых главное, определяющее — это отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели.

Хотя современные логические задачи по математике предъявляют к ученикам творческие требования и предполагают нестандартные подходы, решение через принцип Дирихле не всегда такое простое и понятное. Иногда очень трудно определить, какую величину считать животным, а какую — клеткой. При этом все равно нельзя определить, в какой именно клетке будет находиться объект. То есть можно просто доказать существование такой ячейки, но нельзя конкретизировать её.

Таким образом, можно определить следующий вид задач, к которым применим принцип Дирихле: На основании данного определения выберем такие задачи в разных разделах математической подготовки учащихся.

Принцип Дирихле и арифметика Задача 1. В школе учится ученика. Доказать, что по крайне мере у двух учеников совпадают инициалы. В русском алфавите 33 буквы. Следовательно, по крайне мере у двух учеников совпадают инициалы. В классе 29 учеников.

Во время диктанта один ученик допустил 13 ошибок, а все остальные ученики — меньше. Доказать, что в классе найдутся по крайне мере 3 ученика допустивших одинаковое количество ошибок.

На каждом из них записано одно из чисел от 0 нет ошибок до Остальные 28 карточек надо разложить в 13 ящиков.

Принцип Дирихле и делимость чисел Задача 1. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

знакомство с принципом дирихле

При делении на 5 возможных 5 разных остатков: Так как чисел 6, то найдутся 2 числа с одинаковыми остатками; их разность разделится на 5. Доказать, что из любых трёх целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2. Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два числа одинаковой чётности так как чисел 3, а классов — чётных и нечётных чисел — лишь два. Сумма их делится на 2. Легко заметить, что решение в сути не зависит от конкретных чисел количество елей и наибольшее число иголок.

Принципиально был использован тот факт, что число строго больше В доказательстве предполагалось, что нет ни одной ели без иголок, хотя задача и доказательство справедливы и в этом случае. Теперь сформулируем принцип Дирихле. Пусть в n коробок помещены k предметов. Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета.

знакомство с принципом дирихле

Также не имеет значение, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами два или. В литературе этот принцип также встречается под названиями: Вернемся к задаче 1.

знакомство с принципом дирихле

Решим эту задачу, используя принцип Дирихле. Пусть имеются коробок, соответственно пронумерованных 1,2,3, Помещаем мысленно в эти коробки елей следующим образом: Поскольку елей, то есть "предметов", больше, чем коробок, следует, что по крайней мере одна коробка будет содержать не менее двух предметов, то есть, не менее двух елей.

Так как в одной и той же коробке находятся ели с одинаковым числом иголок, приходим к выводу, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Научно-исследовательская работа

Конечно, задача 1, как мы убедились, очевидна, и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Поэтому, естественно, возникает вопрос: Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны "коробки" и "предметы". То есть, при использовании принципа Дирихле необходимо указать, что кто будет "коробкой", а что кто - "предметом".

В дальнейшем, для закрепления материала, приведем решения ряда задач. Доказать, что среди шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5. Рассмотрим 5 коробок, пронумерованных 0,1,2,3,4, - цифрами, представляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти коробки шесть произвольных целых чисел в соответсвии с остатком от деления на 5, то есть, в одну и ту же коробку помещаем числа, имеющие одинаковый остаток от деления на 5.

Поскольку чисел "предметов" больше, чем коробок, согласно принципу Дирихле, существует одна коробка, содержащая более одного предмета. То есть, существуют по крайней мере два числа, помещенные в одну и ту же коробку. Следовательно, существуют два числа с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда, разность этих чисел делится на 5. Рассмотрим натуральные числа и распределим эти "предметы" в "коробки" пронумерованные 0,1, В коробку s помещаем число ak, которое имеет остаток от деления на n, равный s.

Если в коробке с номером 0 находится один "предмет" то есть, одно числотогда задача решена.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Научно-исследовательская работа - PDF

В противном случае n "предметов" находятся в n-1 "коробках". Согласно приципу Дирихле, существуют два "предмета" числанаходящиеся в одной и той же коробке. То есть, существуют два числа, имеющие одинаковый остаток от деления на n. Их разность будет делится на n, и как легко заметить, разность чисел, состоящих из цифр 0 и 5, также будет числом, состоящим из 0 и 5. Доказать, что среди них найдутся два человека с одинаковым числом знакомых предполагается, что если человек A является знакомым человека B, то и B является знакомым A; никто не считается своим собственным знакомым.

Обозначим через m количество человек, которые имеют хотя бы одно знакомство в зале это и будут "предметы".

Каждый из этих m человек может иметь 1,2, Согластно принципу Дирихле, сущетсвуют два человека с одинаковым числом знакомых. При решении некоторых задач полезно применять обобщенный принцип Дирихле.

знакомство с принципом дирихле

В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" - ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения.

Пусть M - множество, состоящее из n целых чисел. Доказать, что существует подмножество M1 множества M такое, что сумма элементов множества M1 делилась бы на n.

Так как имеются n сумм и n - 1 остатков, то по крайней мере две суммы дадут одинаковый остаток от деления на n. Рассмотрим разности a2 - a1, Эти числа различны, положительны и меньшие, чем 2n. Согласно принципу Дирихле, хотя бы два числа совпадают. Пусть это будут числа ak и am - a1. Доказать, что произведение a1 - 1 a2 - Поскольку произведение состоит из n сомножителей, один по крайней мере из них будет содержать только нечетные числа и уменьшаемое и вычитаемое будут нечетными.

План-конспект факультативного занятия по теме "Принцип Дирихле"

Таким образом, этот множитель будет четным, и произведение также будет четным. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек.

Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см. В квадрате площадью S расположено фигур, сумма площадей которых больше 99S. Доказать, что у всех этих фигур есть общая точка.

Пусть S 1, S 2, Тогда эта точка принадлежит каждой из исходных фигур и является искомой. Принцип Дирихле и комбинаторные задачи Задача 1.

Докажите, что в любой момент турнира по шашкам в котором каждый встречается с остальными участниками по одному разу найдется два игрока, сыгравшие одинаковое число партий. Однако, если хотя бы у одного участника не сыграно ни одной партии. То ни у кого не может быть сыграно k партий. Если же хотя бы один сыграл все k партий, то ни у кого не может быть 0.

Натуральные числа записаны в произвольном порядке. Для каждого числа найдена сумма с его порядковым номером. Могут ли все суммы оканчиваться разными цифрами? Докажем, что хотя бы две суммы оканчиваются одинаковой цифрой. В начальной расстановке все числа записаны по порядку все суммы четные. При перестановке двух чисел либо четность сумм не изменится, либо появится две нечетные суммы.

А четных и нечетных цифр по 5. Сумма всех сумм четна, так как каждое число в нее входит дважды. Таким образом, рассмотрев ряд задач, я выяснил, что принцип Дирихле можно применять для решения задач из разных областей математики.

Из-за неправильного выбора задачи не решались, а как только определялись "зайцы" и "клетки", принцип Дирихле начинал работать. Я считаю, что проделанная мною работа, дала положительные результаты. Так как большое количество логических задач можно решить только этим способом. Этот метод необходимо знать и применять его на практике. Я собираюсь продолжить мои исследования дальше и найти еще новые способы решения логических задач.

Биографический словарь деятелей в области математики. Задачи математических олимпиад - М. Комбинато рика Комбинаторный анализ раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов и отношения на них например, частичного порядка.

Круги Э йлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Нечётное число целое число, которое не делится на 2 без остатка: Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в году на полях книги Диофанта "Арифметика" Теория чисел, или высшая арифметика раздел чистой математики, изучающий свойства натуральных и целых чисел.

Чётное число целое число, которое делится на 2 без остатка: